Prawo Gaussa elektrycznego

Prawo Gaussa elektrycznego (zwane też pierwszym prawem Maxwella) jest fundamentalnym prawem elektrostatyki, opisującym zależność pomiędzy całkowitym ładunkiem elektrycznym zamkniętym w wybranej powierzchni zamkniętej a strumieniem pola elektrycznego przechodzącym przez tę powierzchnię. Prawo to zostało sformułowane przez Carla Friedricha Gaussa w 1835 roku i stanowi jedną z czterech równań opisujących elektrodynamikę.

Formuła całkowa

W postaci całkowej prawo Gaussa wyraża się równaniem:

∮S **E**·d**A** = &frac;{Qwew}{ε₀}
  

gdzie:

• ∮_S oznacza całkę powierzchniową po zamkniętej powierzchni S,
• **E** jest wektorem pola elektrycznego,
• d**A** to wektor elementu powierzchniowego skierowany na zewnątrz (prawo praworęczne),
• Q_wew to całkowity ładunek zamknięty wewnątrz S,
• ε₀ ≈ 8,854 × 10⁻¹² F·m⁻¹ jest przenikalnością elektryczną próżni.

Formuła różniczkowa

Dzięki twierdzeniu Gaussa (równoważnemu twierdzeniu o dywergencji) można przekształcić postać całkową w postać różniczkową:

∇·**E** = &frac;{ρ}{ε₀}
  

gdzie ρ (grecka rho) jest gęstością ładunku elektrycznego (C·m⁻³). To równanie wskazuje, że dywergencja pola elektrycznego w dowolnym punkcie jest proporcjonalna do lokalnej gęstości ładunku.

Zależność od innych praw fizycznych

Prawo Gaussa jest ściśle powiązane z:

• prawem Coulomba – które opisuje siłę działającą pomiędzy dwoma punktowymi ładunkami,
• równaniami Maxwella – prawo Gaussa jest pierwszym z nich,
• twierdzeniem o zachowaniu ładunku – całkowity ładunek w zamkniętym układzie pozostaje stały.

Warunki stosowalności

Prawo Gaussa obowiązuje w układach elektrostatycznych, czyli wtedy, gdy pola nie zmieniają się w czasie. W sytuacjach dynamicznych, gdy obecne są zmieniające się pola magnetyczne, konieczne jest użycie pełnych równań Maxwella, w których dodatkowo pojawia się pojęcie prądu przemiennego (prawo Ampère’a z poprawką Maxwella).

Zastosowania

Prawo Gaussa znajduje zastosowanie m.in. w:

• obliczaniu pola elektrycznego wokół przewodników o symetrii geometrycznej (sześciennej, cylindrycznej, sferycznej),
• analizie izolatorów i dielektryków,
• wyznaczaniu pojemności kondensatorów,
• modelowaniu rozkładu ładunku w materiałach półprzewodnikowych,
• badaniu efektów ekranowania ładunków w plazmie.

Przykłady obliczeniowe

1. Pole elektryczne wokół naładowanej kuli

Dla jednorodnie naładowanej kuli o promieniu R i ładunku całkowitym Q:

• poza kulą (r > R): E = Q/(4π ε₀ r²) skierowane promieniście na zewnątrz,
• wewnątrz kuli (r < R): E = Q r/(4π ε₀ R³) rośnie liniowo z odległością od środka.

Rozwiązanie wynika bezpośrednio z zastosowania prawa Gaussa do powierzchni sferycznej o promieniu r.

2. Pole w pobliżu płaskiej, nieskończenie rozległej płaszczyzny o gęstości ładunku σ

Z integralnej wersji prawa Gaussa otrzymujemy E = σ/(2 ε₀) po obu stronach płaszczyzny, skierowane prostopadle do niej.

Powiązane pojęcia

Elektrostatyka • Prawo Coulomba • Twierdzenie Gaussa (dywergencja) • Przewodnik • Izolator • Pojemność elektryczna

Bibliografia

• J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3. wyd., Wiley, 1998.
• D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4. wyd., Pearson, 2017.
• M. Purcell, Electricity and Magnetism, 2. wyd., Cambridge University Press, 2013.